《概率论与数理统计》课程作业与笔记归档¶
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第一周作业¶
i. A, B 互不相容，即 AB 无交集，也就是 A 一定在 B 的补集里面。\(P(A\bar B)=P(A)=1/2\)
ii. 由 \(P(A)=P(AB)+P(A\bar B)\) 可得 \(P(A\bar B)=3/8\)
11 取 7 排列，这个 7 字母词有两个 i 以及两个 b 可以互换都满足条件，所以
\[
P=\dfrac{2\times2}{A^7_{11}}=\dfrac{2\times2}{5\times6\times7\times8\times9\times10\times11}=\dfrac{1}{415800}
\]
我们分成四个区域
\[
P=\dfrac{B\cap (A\cup \bar B)}{A\cup \bar B}=\dfrac{\mathrm{II}}{\mathrm{I+II+IV}}=\dfrac{0.2}{0.5+0.2+0.1}=\dfrac{1}{4}
\]
第二周作业¶
(1)
第一次取分为两个步骤：选箱子+选零件。
\[
P(A)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{10}{50}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{18}{30}=\dfrac{2}{5}
\]
(2)
根据条件概率公式：
\[
P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}
\]
其中
\[
P(AB)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{10}{50}\times\dfrac{9}{49}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{18}{30}\times\dfrac{17}{29}=\dfrac{276}{1421}
\]
则
\[
P(B|A)=\dfrac{276}{1421}\times\dfrac{5}{2}=\dfrac{690}{1421}
\]
(1) 和 (2) 必然假。 \(P(AB)=P(A)P(B)=0\) 与 \(P(A)>0, P(B)>0\) 矛盾
(3) 必然假。 若 \(B\) 与 \(A\) 不相容则必然 \(P(B)<1-P(A)\)，这就矛盾。
(4) 可能对。考虑随机变量 \(x\) 服从一个 \([0,1]\) 上的均匀分布。
成立的情形：
\[
P(A)=P(0<x<0.6)\\
P(B)=P(0.24<x<0.84)
\]
则 \(P(AB)=P(A)P(B)=0.36\)
不成立的情形：
\[
P(A)=P(0<x<0.6)\\
P(B)=P(0.4<x<1)
\]
则 \(P(AB)=0.2\neq P(A)P(B)=0.36\)
\[
P(B)=\underbrace{0.8\times(1-2\%)^3}_{P(BA_1)}+\underbrace{0.15\times(1-10\%)^3}_{P(BA_2)}+\underbrace{0.05\times(1-90\%)^3}_{P(BA_3)}=0.8623536\\
P(A_1|B)=\dfrac{P(BA_1)}{P(B)}=0.8731378868250795\\
P(A_2|B)=\dfrac{P(BA_2)}{P(B)}=0.12680413231880752\\
P(A_3|B)=\dfrac{P(BA_3)}{P(B)}=0.00005798085611285204\\
\]
什么是随机变量：如果一个变量 \(x\) 在每一次观测时的值不能被完全先验地确定则称其为一个随机变量。
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Yan Li. (Sep. 23, 2025). 《概率论与数理统计》课程作业与笔记归档 [Blog post]. Retrieved from https://dicaeopolis.github.io/campus-sources/Prob_Stats_assignments
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