《离散数学》课程作业与笔记归档¶

供存档和复习用。

第一周作业¶

李琰，2024302183007

记 2 + 2 = 4 为 p，3 + 3 = 6 为 q。

• (1) \(p\rightarrow q\), 真
• (2) \(p\rightarrow \neg q\)，假
• (3) \(\neg p\rightarrow q\)，真
• (4) \(\neg p\rightarrow \neg q\)，真
• (5) \(p\leftrightarrow q\)，真
• (6) \(p\leftrightarrow \neg q\)，假
• (7) \(\neg p\leftrightarrow q\)，假
• (8) \(\neg p\leftrightarrow \neg q\)，真

其实就是考察两个联结词的真值表。

• (1) 记 “2 是偶数” 为 p，记 “2 是素数” 为 q，则命题符号化为 \(p\land q\)
• (2) 记 “小王聪明” 为 p，记 “小王用功” 为 q，则命题符号化为 \(p\land q\)
• (3) 记 “天气很冷” 为 p，记 “老王来了” 为 q，则命题符号化为 \(p\land q\)
• (4) 记 “他吃饭” 为 p，记 “他看电视” 为 q，则命题符号化为 \(p\land q\)
• (5) 记 “下大雨” 为 p，记 “他乘公共汽车上班” 为 q，则命题符号化为 \(p\rightarrow q\)
• (6) 记 “下大雨” 为 p，记 “他乘公共汽车上班” 为 q，则命题符号化为 \(q\rightarrow p\)
• (7) 记 “下大雨” 为 p，记 “他乘公共汽车上班” 为 q，则命题符号化为 \(q\rightarrow p\)
• (8) 记 “经一事” 为 p，记 “长一智” 为 q，则命题符号化为 \(q\rightarrow p\)

不……不 = 出发……否则不 = 只有……才

• (1) \(p\lor (q\land r)=0\lor (0\land 1)=0\)
• (2) \((p\leftrightarrow r)\land (\neg q\lor s)=(0\leftrightarrow 1)\land (\neg q\lor s)=0\) 这里可以直接利用 \(\land\) 的短路特性
• (3) \((p\land (q\lor r))\rightarrow ((p\lor q)\land(r\land s))=(0\land (0\lor 1))\rightarrow ((0\lor 0)\land(1\land 1))=1\) 同样是利用蕴含符号左边 \(\land\) 的短路特性得到那一坨是 \(0\) 然后再利用蕴含符号本身的短路特性得到结果
• (4) \(\neg (p\lor (q\rightarrow (r\land \neg p)))\rightarrow (r\lor \neg s)=\neg (0\lor (0\rightarrow (r\land \neg p)))\rightarrow (1\lor \neg 1)=1\rightarrow 1=1\)

• (1) \(\neg((p \land q) \to p)=\neg (\neg (p \land q)\lor p)=(p \land q)\land \neg p=q\land( p\land\neg p)=0\) 为矛盾式。
• (2) \(((p \to q) \land (q \to p)) \leftrightarrow (p \leftrightarrow q)=(p \leftrightarrow q)\leftrightarrow(p \leftrightarrow q)=1\) 为重言式。
• (3) \((\neg p \to q) \to (q \to \neg p)=(\neg(\neg p) \lor q)\to (\neg q \lor \neg p)\) \(=(p \lor q)\to \neg(q \land p)=\neg(p \lor q)\lor \neg(q \land p)=\neg(p \lor q\land q \land p)=\neg(p\land q)\) 为可满足式。

第二周作业¶

(1) 主析取范式：

由此得到成真赋值和成假赋值：

主合取范式可由成假赋值直接得到：

(2) 主析取范式：

由此得到成真赋值和成假赋值：

主合取范式可由成假赋值直接得到：

(3) 主析取范式：

由此得到成真赋值和成假赋值：

主合取范式可由成假赋值直接得到：

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2
3
4
5
6
7

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